- Vì vai trò của a , b ,c trong bài này là như nhau nên có thể giả sử \(a\le b\le c\)mà không làm giảm đi tính tổng quát của bài toán . Khi đó ta có :

\(3=a+b+c\le3c\Rightarrow c\ge1\Rightarrow1\le x\le2\)

Ta có : \(a^2+b^2\le\left(a+b\right)^2\)(vì \(a,b\ge0\))

\(\Rightarrow A\le\left(a+b\right)^2+c^2=\left(3-c\right)^2+c^2=2c^2-6c+9\)

          \(\le2.\left(c^2-3c+\frac{9}{4}\right)+\frac{9}{2}=2\left(c-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\)

Do \(1\le c\le2\)nên \(-\frac{1}{2}\le x-\frac{3}{2}\le\frac{1}{2}\Rightarrow|c-\frac{3}{2}|\le\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow2|x-\frac{3}{2}|^2+\frac{9}{2}\le2.\frac{1}{4}+\frac{9}{2}=5\Rightarrow A\le5\)

Dễ thấy khi a = 0 ; b = 1 ; c = 2 thỏa mãn \(a,b,c\in\left[0;2\right];a+b+c=3\)và \(a\le b\le c\)thì A = 5

Vậy : \(A_{max}=5\)

Do \(a,b,c\in\left[0;2\right]\)nên \(\left(a-2\right)\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le0\)\(\Leftrightarrow abc-2\left(ab+bc+ca\right)+4\left(a+b+c\right)-8\le0\)\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\ge4+abc\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge a^2+b^2+c^2+abc+4\)\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5-abc\le5\)(Do \(a,b,c\ge0\))

Đẳng thức xảy ra khi trong 3 số a, b, c có một số bằng 0, một số bằng 1 và một số bằng 2

trình bày ra mần răng biết 40

khói quá

1.

Áp dụng hệ quả cô si:

\(\left(a^2+b^2+c^2\right)^{1000}\le3^{999}\left(a^{2000}+b^{2000}+c^{2000}\right)=3^{1000}\)

=>\(a^2+b^2+c^2\le3\)Dấu = khi a=b=c=1

không biết đúng hay sai đâu

*)Chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge3\)

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

Xảy ra khi \(a=b=c=1\)

*)Chứng minh \(a^2+b^2+c^2\le5\)

Từ \(a,b,c\in\left[0;2\right]\)\(\Rightarrow\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)-abc+8\le0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-abc\le4\)\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-a^2+b^2+c^2\le4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)

Xảy ra khi \(a=2;b=1;c=0\) và hoán vị

Cho mk hỏi abc = ? v bn

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=max\left\{a;b;c\right\}\)

\(\Rightarrow3\le3a\Rightarrow a\ge1\Rightarrow1\le a\le2\Rightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\le0\)

Ta có:

\(a^2+b^2+c^2\le a^2+\left(b+c\right)^2=a^2+\left(3-a\right)^2\)

\(=2a^2-6a+9=2\left(a^2-3a+2\right)+5=2\left(a-1\right)\left(a-2\right)+5\le5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(2;1;0\right)\) và các hoán vị

Từ \(a,b,c\in\left[0;2\right]\Rightarrow\left(2-a\right)\left(2-b\right)\left(2-c\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-4\left(a+b+c\right)-abc+8\le0\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)-abc\le4\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)\le4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2-a^2+b^2+c^2\le4\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le5\)

Xảy ra khi \(\text{a=2;b=1;c=0}\) và hoán vị

Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\)khi đó ta có: \(b^2-bc+c^2=c\left(c-b\right)+b^2\le b^2\); \(c^2-ca+a^2=c\left(c-a\right)+a^2\le a^2\)

Từ đó thu được \(Q\le a^2b^2\left(a^2-ab+b^2\right)=\frac{4}{9}.\frac{3ab}{2}.\frac{3ab}{2}.\left(a^2-ab+b^2\right)\)\(\le\frac{4}{9}.\left(\frac{\frac{3ab}{2}+\frac{3ab}{2}+a^2-ab+b^2}{3}\right)^3=\frac{4}{3^5}\left(a+b\right)^6\le\frac{4}{3^5}\left(a+b+c\right)^6=12\)

Đẳng thức xảy ra khi a = 2; b = 1; c = 0 và các hoán vị

Đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x+1;y+1;z+1\right)\) \(\Rightarrow x;y;z\in\left[0;1\right]\)

Do \(x;y;z\in\left[0;1\right]\) nên ta có:

\(x\left(x-1\right)+y\left(y-1\right)+z\left(z-1\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2\le x+y+z\)

Đồng thời : \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)\le0\)

Ta có:

\(P=\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2=2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\)

\(\Rightarrow\dfrac{P}{2}=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\le x+y+z-xy-yz-zx\le xyz+x+y+z-xy-yz-zx\)

\(\Rightarrow\dfrac{P}{2}\le xyz+x+y+z-xy-yz-zx-1+1=\left(x-1\right)\left(y-1\right)\left(z-1\right)+1\le1\)

\(\Rightarrow P\le2\)

Vậy \(P_{max}=2\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;0;1\right);\left(0;1;1\right)\) và các hoán vị hay \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;2\right);\left(1;2;2\right)\)  và các hoán vị