Theo định lý Fermat nhỏ, \(2^{16}-1⋮17\) (đl Fermat nhỏ phát biểu rằng, cho số nguyên dương \(a\) và số nguyên tố \(p\) mà \(\left(a,p\right)=1\) thì \(a^{p-1}-1⋮p\), chứng minh thì bạn tìm hiểu thêm nhé, mình không chứng minh ở đây vì nó khá dài)

 Mà ta lại có \(2^4+1=17⋮17\) \(\Rightarrow2^{12}\left(2^4+1\right)⋮17\) \(\Rightarrow2^{16}+2^{12}⋮17\)

 Kết hợp với \(2^{16}-1⋮17\), ta có \(\left(2^{16}+2^{12}\right)-\left(2^{16}-1\right)⋮17\)

\(\Rightarrow2^{12}+1⋮17\)

a, Ta có: 212+1=4096+1=4097 chia hết cho 17Vậy 212+1 chia hết cho 17

b: Đề sai với n=1

a: \(A=16^n-1=\left(16-1\right)\cdot B=15\cdot B⋮15\)

Bài 1:
Ta có:

\(b^2+c^2-a^2+2bc=(b^2+2bc+c^2)-a^2\)

\(=(b+c)^2-a^2=(2p-a)^2-a^2\) (do \(a+b+c=2p\) )

\(=4p^2-4pa+a^2-a^2=4p^2-4pa=4p(p-a)\)

Do đó ta có đpcm.

Bài 2:

Dấu \(\Leftrightarrow \) thể hiện bài toán đúng trong cả 2 chiều.

Ta có: \(5a+2b\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 2(5a+2b)\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 10a+4b\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 10a+4b+17a+17b\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 27a+21b\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 3(9a+7b)\vdots 17\)

\(\Leftrightarrow 9a+7b\vdots 17\) (do 3 và 17 nguyên tố cùng nhau)

Ta có đpcm.

Lời giải:

1)

Ta có : \(A=81^7-27^9-9^{13}=(3^4)^7-(3^3)^9-(3^2)^{13}\)

\(\Leftrightarrow A=3^{28}-3^{27}-3^{26}=3^{26}(3^2-3-1)\)

\(\Leftrightarrow A=5.3^{26}=405.3^{22}\)

Do đó \(A\vdots 405\) (đpcm)

2)

Ta thấy : \(12^{2}\equiv 11\pmod {133}\)

\(\Rightarrow 12^{2n+1}\equiv 11^{n}.12\pmod {133}\)

\(\Rightarrow 12^{2n+1}+11^{n+2}\equiv 11^n.12+11^{n+2}\pmod {133}\)

\(\Leftrightarrow 12^{2n+1}+11^{n+2}\equiv 11^n(12+11^2)\equiv 11^n.133\equiv 0\pmod {133}\)

Do đó: \(12^{2n+1}+11^{n+2}\vdots 133\) (đpcm)

3)

Ta thấy \(A=5x+2y;B=9x+7y\Rightarrow 3A+4B=51x+34y\)

Vì \(51\vdots 17;34\vdots 17\Rightarrow 3A+4B\vdots 17\)

Nếu \(A\vdots 17\Rightarrow 4B\vdots 17\). Mà $(4,17)$ nguyên tố cùng nhau nên \(B\vdots 17\)

Do đó ta có đpcm.

câu 1 số 5 là sao vậy bạn và đpcm là gì vậy