ĐKXĐ: \(x\ge\dfrac{2}{7}\)

\(\sqrt{5x^2-5x+3}-\left(x+1\right)+2x-\sqrt{7x-2}+4x^2-7x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{4x^2-7x+2}{\sqrt{5x^2-5x+3}+\left(x+1\right)^2}+\dfrac{4x^2-7x+2}{2x+\sqrt{7x-2}}+4x^2-7x+2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(4x^2-7x+2\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{5x^2-5x+3}+\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{2x+\sqrt{7x-2}}+1\right)=0\)

Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{5x^2-5x+3}+\left(x+1\right)^2}+\dfrac{1}{2x+\sqrt{7x-2}}+1>0\)

\(\Rightarrow4x^2-7x+2=0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{7-\sqrt{17}}{8}\\x=\dfrac{7+\sqrt{17}}{8}\end{matrix}\right.\)

\(\)

đặt \(\sqrt{x^2+x+1}=t\left(t\ge\sqrt{\dfrac{3}{4}}\right)tacó\)

pt \(\Leftrightarrow\)3t=t\(^2\)+2

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}t=1\left(tm\right)\\t=2\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Với t=1 ta có x\(^2\)+x+1=1 \(\Leftrightarrow\)x=0 hoặc x=-1

với t=2 ta có x\(^2\)+x+1 =2 \(\Leftrightarrow\)\(\dfrac{-1\mp\sqrt{5}}{2}\)=x

câu 2 tương tự đặt 2x^2+x-2=t(t\(\ge\dfrac{-17}{8}\))

ta có pt \(\Leftrightarrow\)t^2+5t-6=0

\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}t=1\left(tm\right)\\t=-6\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

với t=1 thì 2x^2+x-2=1 \(\Leftrightarrow\)t=1 hoặc -3/2

.

Lời giải:
ĐK: $1\leq x\leq 3$

PT \(\Leftrightarrow \frac{x^2-2x+3-(x^2-6x+11)}{\sqrt{x^2-2x+3}+\sqrt{x^2-6x+11}}=\frac{3-x-(x-1)}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{4(x-2)}{\sqrt{x^2-2x+3}+\sqrt{x^2-6x+11}}+\frac{2(x-2)}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{4}{\sqrt{x^2-2x+3}+\sqrt{x^2-6x+11}}+\frac{2}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}}\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông lớn hơn $0$ nên $x-2=0$

$\Rightarrow x=2$ (t/m)

Vậy.......

Lời giải:
ĐK: $1\leq x\leq 3$

PT \(\Leftrightarrow \frac{x^2-2x+3-(x^2-6x+11)}{\sqrt{x^2-2x+3}+\sqrt{x^2-6x+11}}=\frac{3-x-(x-1)}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}}\)

\(\Leftrightarrow \frac{4(x-2)}{\sqrt{x^2-2x+3}+\sqrt{x^2-6x+11}}+\frac{2(x-2)}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow (x-2)\left[\frac{4}{\sqrt{x^2-2x+3}+\sqrt{x^2-6x+11}}+\frac{2}{\sqrt{3-x}+\sqrt{x-1}}\right]=0\)

Dễ thấy biểu thức trong ngoặc vuông lớn hơn $0$ nên $x-2=0$

$\Rightarrow x=2$ (t/m)

Vậy.......

ĐK: \(x\ge5\)

Chuyển vế, bình phương ta đc:

\(\sqrt{5x^2+14x+9}=5\sqrt{\left(x^2-x-20\right)\left(x+1\right)}\)

Nhận xét:

Không tồn tại số \(\alpha,\beta\) để: \(2x^2-5x+2=\alpha\left(x^2-x-20\right)+\beta\left(x+1\right)\)

Ta có: \(\left(x^2-x-20\right)\left(x+1\right)=\left(x+4\right)\left(x-5\right)\left(x+1\right)=\left(x+4\right)\left(x^2-4x-5\right)\)

PT đc vt lại là: \(2\left(x^2-4x-5\right)+3\left(x+4\right)=5\sqrt{\left(x^2-4x-5\right)\left(x+4\right)}\)

Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}u=x^2-4x-5\\v=x+4\end{matrix}\right.\)

Khi đó PT trở thành:

\(2u+3v=5\sqrt{uv}\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}u=v\\u=\frac{9}{4}v\end{matrix}\right.\)

Xét \(u=v\) ta có PT:

\(x^2-4x-5=x+4\Leftrightarrow x^2-5x+9=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\\x=\frac{5-\sqrt{61}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Xét \(u=\frac{9}{4}v\) ta có PT:

\(x^2-4x-5=\frac{9}{4}\left(x+4\right)\Leftrightarrow4x^2-25x-56=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=8\\x=-\frac{7}{4}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy PT có 2 nghiệm là \(x=8;x=\frac{5+\sqrt{61}}{2}\)

b) Đặt \(u=\sqrt{1-x}\); \(v=\sqrt{1+x}\)

phương trình trở thành

\(2u-v+3uv=u^2+2\)\(\Rightarrow u^2-2u+v-3uv+2=0\)

lại có \(u^2+v^2=2\)

\(\Rightarrow u^2-2u-3uv+v+u^2+v^2=0\)

\(\Rightarrow\left(u-v-1\right)\left(2u-v\right)=0\)

đến đây thì easy rồi

a)

Đặt \(\sqrt{2x+1}=t\) ;\(\sqrt{x}=k\)

Phương trình trở thành

\(\left(3k^2+t^2\right)t-\left(3t^2+k^2\right)k-1=0\)

\(\Leftrightarrow3k^2t+t^3-3t^2k-k^3-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-k\right)\left(t^2+kt+k^2\right)-3tk\left(t-k\right)-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-k\right)^3-1=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-k-1\right)\left(\left(t-k\right)^2+t-k+1\right)=0\)

do t > k => t - k > 0

\(\Rightarrow\left(t-k\right)^2+t-k+1>0\)

\(\Rightarrow t-k-1=0\)

\(\Leftrightarrow t=1+k\)\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+1}=1+\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow2x+1=x+2\sqrt{x}+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=4\end{matrix}\right.\)

END