Đáp án C

Phương trình tương đương với:

Phương trình có nghiệm:

Có 5 số nguyên thoả mãn

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Ta có: sin²x – 2( m- 1)sinx. cosx – (m- 1).cos²x = m

Chọn D

Bảng biến thiên 

Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình có nghiệm khi

\(\Leftrightarrow2\left(cos^2x-sin^2x\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(2cosx-2sinx\right)\left(sinx+cosx\right)+sinx.cosx\left(sinx+cosx\right)=m\left(sinx+cosx\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}sinx+cosx=0\left(\text{vô nghiệm trên đoạn xét}\right)\\2cosx-2sinx+sinx.cosx=m\left(1\right)\end{matrix}\right.\) 

Xét (1), đặt \(t=cosx-sinx=\sqrt{2}cos\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\in\left[-1;1\right]\\sinx.cosx=\dfrac{1-t^2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow2t+\dfrac{1-t^2}{2}=m\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=-\dfrac{1}{2}t^2+2t+\dfrac{1}{2}\) trên \(\left[-1;1\right]\)

\(-\dfrac{b}{2a}=2\notin\left[-1;1\right]\) ; \(f\left(-1\right)=-2\) ; \(f\left(1\right)=2\)

\(\Rightarrow-2\le f\left(t\right)\le2\Rightarrow-2\le m\le2\)

\(4sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right).cos\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=m^2+\sqrt[]{3}sin2x-cos2x\)

\(\Leftrightarrow4.\left(-\dfrac{1}{2}\right)\left[sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}+x-\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}-x+\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2.\left[\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}.sin2x-\dfrac{1}{2}.cos2x\right]\)

\(\Leftrightarrow2\left[sin\left(2x+\dfrac{\pi}{6}\right)+sin\left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\right]=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow2.2sin2x.cos\dfrac{\pi}{6}=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow2.2sin2x.\dfrac{\sqrt[]{3}}{2}=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt[]{3}sin2x.=m^2+2\)

\(\Leftrightarrow sin2x.=\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\)

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

\(\left|\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\right|\le1\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\ge-1\\\dfrac{m^2+2}{2\sqrt[]{3}}\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2\ge-2\left(1+\sqrt[]{3}\right)\left(luôn.đúng\right)\\m^2\le2\left(1-\sqrt[]{3}\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\le m\le\sqrt[]{2\left(1-\sqrt[]{3}\right)}\)