3n(2 - 3n) + 42 + 3n \(\ge\)0

\(\Leftrightarrow\) - 9n² + 9n + 42 \(\ge\)0

\(\Leftrightarrow-1,71\le n\le2,72\)

Vì n tự nhiên nên ta có

\(\Rightarrow0\le n\le2\)

Vậy n = 0,1,2

1.

Gọi \(d=ƯC\left(2n^2+3n+1;3n+1\right)\)

\(\Rightarrow2n^2+3n+1-\left(3n+1\right)⋮d\)

\(\Rightarrow2n^2⋮d\Rightarrow2n\left(3n+1\right)-3.2n^2⋮d\)

\(\Rightarrow2n⋮d\Rightarrow2\left(3n+1\right)-3.2n⋮d\Rightarrow2⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}d=1\\d=2\end{matrix}\right.\)

\(d=2\Rightarrow3n+1=2k\Rightarrow n=2m+1\)

\(\Rightarrow n\) lẻ thì A không tối giản

\(\Rightarrow n\) chẵn thì A tối giản

2.

Giả thiết tương đương:

\(xy^2+\dfrac{x^2}{z}+\dfrac{y}{z^2}=3\)

Đặt \(\left(x;y;\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a^2c+b^2a+c^2b=3\)

Ta có: \(9=\left(a^2c+b^2a+c^2b\right)^2\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\left(c^2+a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow9\le\left(a^4+b^4+c^4\right)\sqrt{3\left(a^4+b^4+c^4\right)}\)

\(\Rightarrow3\left(a^4+b^4+c^4\right)^3\ge81\Rightarrow a^4+b^4+c^4\ge3\)

\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{a^4+b^4+c^4}\le\dfrac{1}{3}\)

\(M_{max}=\dfrac{1}{3}\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(1;1;1\right)\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)

a) \(5^{3n+2}=25^{n+3}\)

\(\Leftrightarrow5^{3n+2}=5^{2\left(n+3\right)}\)

\(\Leftrightarrow3n+2=2\left(n+3\right)\)

\(\Leftrightarrow3n+2=2n+6\)

\(\Leftrightarrow n=4\)

b) \(6.5^{n-2}+10^2=2.5^3\left(n>1\right)\)

\(\Leftrightarrow6.5^{n-2}=2.5^3-10^2\)

\(\Leftrightarrow6.5^{n-2}=2.5^3-2^2.5^2\)

\(\Leftrightarrow6.5^{n-2}=2.5^2\left(5-2\right)\)

\(\Leftrightarrow6.5^{n-2}=2.5^2.3\)

\(\Leftrightarrow5^{n-2}=5^2\)

\(\Leftrightarrow n-2=2\)

\(\Leftrightarrow n=4\)

Lời giải:

$n^4+3n^3+4n^2+3n+1=(n+1)^2(n^2+n+1)$

Nếu đây là scp thì $n^2+n+1$ cũng phải là scp

Đặt $n^2+n+1=t^2$ với $t$ tự nhiên 

$\Leftrightarrow 4n^2+4n+4=(2t)^2$

$\Leftrightarrow (2n+1)^2+3=(2t)^2$

$\Leftrightarrow 3=(2t-2n-1)(2t+2n+1)$

$\Rightarrow 2t+2n+1=3; 2t-2n-1=1$

$\Rightarrow n=0$ (trái giả thiết)

Vậy có nghĩa là $n^2+n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

$\Rightarrow n^4+3n^3+4n^2+3n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$

Ta có đpcm.

mình cũng không biết

Ta có \(n^4-3n^2+1=\left(n^4-2n^2+1\right)-n^2\)

                                        \(=\left(n^2-1\right)^2-n^2\)

                                        =(n^2-n-1)(n^2+n-1)

   Để B là số nguyên tố thì 

  n^2-n-1=1,n^2+n-1 là số nguyên tố 

=>n=2 thỏa mãn

Vậy n=2

Giả sử pt có 2 nghiệm, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-n\\x_1x_2=2m+3n-1\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1^2+x_2^2=13\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=13\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1x_2=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2m-n=-1\\2m+3n-1=-6\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}n=-1\\m=-1\end{matrix}\right.\)