\(p^2=5q^2+4\)chia 5 dư 4

=>p=5k+2\(\left(k\inℕ^∗\right)\)

Ta có : \(\left(5k+2\right)^2=5q^2+4\)

\(\Leftrightarrow5k^2+4k=q^2\Rightarrow q^2⋮k\)

Mặt khác q là số nguyên tố và q>k nên k=1

Thay vào ta được p=7,q=3

a, => p^2 = 5q^2 + 4

+, Nếu q chia hết cho 3 => q=3 => p=7 ( t/m )

+, Nếu q ko chia hết cho 3 => q^2 chia 3 dư 1 => 5q^2 chia 3 dư 5

=> p^2 = 5q^2 + 4 chia hết cho 3

=> p chia hết cho 3 ( vì 3 là số nguyên tố )

=> p = 3 => q = 1 ( ko t/m )

Vậy p=7 và q=3

Tk mk nha

Có p là số nguyên tố,p lẻ 
+)Xét p=3 suy ra 134=2q(17q+24) suy ra q(17q+24)=67
Mà q lớn hơn hoặc = 2 nên vô lí
+)Xét p>3.p nguyên tố nên p ko chia hết cho 3
th1: p chia 3 dư 1.Đặt p=3k+1 nên VT chia hết cho 3 nên VP chia hết cho 3, Từ đó suy ra q chia hết cho 3,mà q nguyên tố nên q=3.Thay vào tìm ra p

th2 : p chia 3 dư 2. Đặt p=3k+2 nên VT chia 3 dư 2. VT=VP nên 2q(17q+24) chia 3 dư 2 

Từ đó có q(17q+24) chia 3 dư 1 nên 17q^2 +24q chia 3 dư 1

Mà 24q chia hết cho 3 nên 17q^2 chia 3 dư 1(loại)

trường hợp 2 hình như ko đúng 

(p-2)(p+2)=5q^2

TH,1;

p-2=5k

k(5k+4)=q^2

q€P=>k<5k+4=>k=1; p=7; 5+4=9

p=3;

(p,q)=(7;3)

k=5k+4(vo nghiem

th2; p+2=5k

<=>k(5k-4)=q^2

k=1; p=3; q=1(loai)

5k-4=1=>k=1(loai

k=5k-4=>4k=4=>k=1(vn)

kl

p;q=(7,3) duy nhat

mình ko hiểu

2,Giải: 

♣ Ta thấy p = 2 thì 2p + 1 = 5 không thỏa = n³ 

♣ Nếu p > 2 => p lẻ (Do Số nguyên tố chẵn duy nhất là 2 ) 
Mặt khác : 2p + 1 là 1 số lẻ => n³ là một số lẻ => n là một số lẻ 

=> 2p + 1 = (2k + 1)³ ( với n = 2k + 1 ) 
<=> 2p + 1 = 8k³ + 12k² + 6k + 1 
<=> p = k(4k² + 6k + 3) 

=> p chia hết cho k 
=> k là ước số của số nguyên tố p. 

Do p là số nguyên tố nên k = 1 hoặc k = p 

♫ Khi k = 1 
=> p = (4.1² + 6.1 + 3) = 13 (nhận) 

♫ Khi k = p 
=> (4k² + 6k + 3) = (4p² + 6p + 3) = 1 
Do p > 2 => (4p² + 6p + 3) > 2 > 1 
=> không có giá trị p nào thỏa. 

Đáp số : p = 13

Do vai trò của x,y  bình đẳng như nhau,giả sử \(x\ge y\),khi đó:

\(\frac{x+y}{x^2+y^2}=\frac{7}{25}\)

\(\Rightarrow7\left(x^2+y^2\right)=25\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow7x^2+7y^2=25x+25y\)

\(\Rightarrow7x^2-25x=25y-7y^2\)

\(\Rightarrow x\left(7x-25\right)=y\left(25-7y\right)\)

\(\Rightarrow7x-25\)và \(25-7y\)cùng dấu vì \(x,y\inℕ\)

Nếu \(\hept{\begin{cases}7x+25< 0\\25-7y< 0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 4\\y< 4\end{cases}}\)(trái với giả sử)

Nếu \(\hept{\begin{cases}7x-25\ge0\\25-7y\ge0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x\ge4,y< 4\)

Thử y là các số tự nhiên từ 0 đến 3 ta được \(x=4,y=3\)

Vậy các cặp số (x,y) cần tìm là:\(\left(3;4\right)\)và các hoán vị của chúng

Ta có: \(x^2-2y^2=1\Rightarrow x^2+1=2\left(y^2+1\right)\)          (**)

Vì \(2\left(y^2+1\right)⋮2\Rightarrow\left(x^2+1\right)⋮2\Rightarrow x^2lẻ\Rightarrow\)x lẻ 

Vậy x có dạng 2k + 1, thay x = 2k + 1 vào (**) ta được:

 \(\left(2k+1\right)^2+1=2\left(y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow4k^2+4k+2=2\left(y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow2k^2+2k+1=y^2+1\)

\(\Rightarrow2\left(k^2+k\right)=y^2\)

\(\Rightarrow y^2⋮2\) vì \(2\left(k^2+k\right)⋮2\)

Mà y nguyên tố nên suy ra y = 2. Khi đó x = 3. (thoả x,y là số nguyên tố).

Vậy (x,y) = (3,2)

Vì VT lẻ mà \(2y^2\)là số chẵn \(\Rightarrow x^2lẻ\)

Cho x = 2k + 1(k thuộc N)

pt trở thành \(\left(2k+1\right)^2-2y^2=1\)

\(\Leftrightarrow4k^2+4k-2y^2=0\)

\(\Leftrightarrow2k^2+2k-y^2=0\)

Cần \(y^2⋮2\Leftrightarrow y^2⋮4\).Vì y là snt nên nó chỉ có thể là 2\(\Rightarrow y=2\)

Mà thay y = 2 vô thì pt ko có nghiệm nguyên với  x,y là số nguyên tố.

Vậy pt vô nghiệm hay S={rỗng}