a) tứ giác AOBM nội tiếp thì có tâm đường tròn là trung điểm OM

cần CM tứ giác OIMB nội tiếp: dùng tổng hai góc đối cộng với nhau bằng 180o, mà đã có OBM=90o, mà I là trung điểm dây cung CD nên OI vuông góc CD luôn => OIM=90o

Vậy tứ giác OIMB nội tiếp thì tâm đường tròn cũng tại trung điểm OM luôn

b) 5 điểm A,I,O,B,M cùng thuộc 1 đtron

=> tứ giác AIOB nội tiếp => góc AIB=AOB (cùng chắn cung)

tứ giác AIOM nội tiếp => góc AIM=AOM (ccc)

mà góc AOM=1/2AOB=AIM=1/2AIB

=> BIM=1/2AIB (đpcm

Lời giải:

Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên:

$MA\perp OA, MB\perp OB$

$\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0$

Tứ giác $MAOB$ có tổng 2 góc đối: $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$ nên là tứ giác nội tiếp (đpcm).

Vì $OC=OD=R$ nên tam giác $OCD$ cân tại $O$

Do đó đường trung tuyến $OI$ đồng thời là đường cao

$\Rightarrow \widehat{OIM}=90^0$

Tứ giác $MIOB$ có tổng 2 góc đối $\widehat{OIM}+\widehat{OBM}=90^0+90^0=180^0$ nên là tứ giác nội tiếp (đpcm)

Hình vẽ:

vì AM là tiếp tuyến của ( O) => OA⊥AM =>ΔOAM vuông ở A   

=> điểm A thuộc đường tròn đường kính OM

vì BM là tiếp tuyến của (O) => OB⊥BM =>ΔOBM vuông ở B

=> điểm B thuộc đường tròn đường kính OM 

Vì OH⊥MI=>ΔOHM vuông tại H

=> điểm H thuộc đường tròn đường kính OM

=> 4 điểm O,A,M,B,H cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Xét đường tròn (O;R) có \(\widehat{MTA}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến MT (tiếp điểm là T) và dây cung TA \(\Rightarrow\widehat{MTA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)

Mà \(\widehat{MBT}\)là góc nội tiếp chắn cung TA \(\Rightarrow\widehat{MBT}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)

\(\Rightarrow\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\right)\)

Xét \(\Delta MTA\)và \(\Delta MBT\), ta có: \(\widehat{BMT}\)chung; \(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MTA~\Delta MBT\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}\Rightarrow MT^2=MA.MB\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(MT^2=MC.MD\)(2)

Vì MT là tiếp tuyến tại T của (O) \(\Rightarrow MT\perp OT\)tại T \(\Rightarrow\Delta OMT\)vuông tại T

\(\Rightarrow OM^2=MT^2+OT^2\)\(\Rightarrow MT^2=OM^2-OT^2\)

Đồng thời MT là tiếp tuyến tại T của (O;R) \(\Rightarrow OT=R\)

Như vậy ta có \(MT^2=OM^2-R^2\)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có đpcm.